Tal-klog – Matematisk viden
- er at kunne bruge matematik i praksis (men også at lege med talteori - ligninger - geometri - topologi)
Børn i 5-6-7 års alderen må lære matematik på en sådan måde, at deres begreber om matematik omfatter både konkret, funktionel og abstrakt viden om omverdenens matematiske indhold. Det skal give dem mulighed for at udtrykke denne viden gennem såvel handlinger som billeder og sprog. Sprog er i den forbindelse også matematikkens sprog – at kunne forklare sig om matematiske begreber.
Børnene skal derved lære at løse såvel konkrete, praktiske matematiske problemer i hverdagen som abstrakte, teoretiske matematiske opgaver. Det er dog vigtigt, at lege- og læreprocesserne er i nøje overensstemmelse med børnenes iboende, psykologiske og sociale muligheder for begrebs- og symboludvikling.
Det betyder, at legene og aktiviteterne skal være naturlige og konkrete for børnene – hvilket desuden vil motivere og inspirere dem yderligere.
Selv helt små børn (fra 4-5 år alderen) må opleve, at de lærer matematik ved hjælp af lege og aktiviteter, der ”siger dem noget” – at det er spændende, kreativt udfordrende, sjovt og at man kan se en form for resultat.
10 Talkloge lege- og læringskategorier
Tal kloghed – matematisk intelligens udvikles gennem leg og erfaring med
- mængde og tal
- rumlige forhold
- matematiske størrelser
- sandsynligheder
- ligheder og forskelle
- kategoriseringer
- rækkefølge
- tid og tidsintervaller
- højdeforskelle
- tyngde og vægt
Børn der leger som om de er talkloge
- foregiver at de er en slags matematikere, arkitekter, landskabsarkitekter, revisorer og detektiver, men også at de er natur videnskabsmænd og - kvinder,
Disse børn udvikler sig derved til at kunne
tænke i ræsonnementer, problemløse, lege med tal og abstrakte mønstre.
De har brug for
at samarbejde med andre børn og voksne om at opdage og sanse – gerne ved hjælp af redskaber som f.eks. måleinstrumenter og vægte, computere o. lign.
De vil elske
at regne, eksperimentere, stille spørgsmål, lave hovedbrud og undersøge ting.
De bliver gode til
at arbejde med tal, løse opgaver, kategorisere, finde sammenhænge og forudsige ting.
De bliver stimuleret til udvikling ag talkloghed
ved besøg på eksperimentarier og planetarier – og værksteder hvor man kan lege med logiske ræsonnementer, tal og abstrakte mønstre, ved at gøre ting i rækkefølge.
Forudsætningerne
Børns voksende færdigheder i at anvende matematik til problemløsning, forløber parallelt med alle andre færdigheder. Det gælder også eksempelvis den sproglige udvikling, indlæring af læsning og skrivning og til dels også den fysiske udvikling, udviklingen af motorikken.
Udviklingspsykologisk tilegner børn sig de matematiske begreber på samme måde, som de lærer alt andet.
Ved udviklingen af disse færdigheder involveres de intelligens- og følelsesmæssige (cognitive og affektive) systemer.
(Det drejer sig om udviklingen af visuel, auditiv, kinæstetisk og taktil perception, begrebsdannelse og symboldannelse – som er de cognitive eller intellektuelle strukturer eller ”systemer” i hjernen.)
Det er vigtigt at tage konsekvensen af forskningen om børns cognitive, motivationelle og emotionelle udviklingsniveau og muligheder, når børn skal lære matematik. Denne viden, om børnenes udvikling, er kort og godt forudsætningsfunktionerne for at kunne lære – her matematik.
Det er derfor altafgørende, at børnene i 5-6-7 års alderen leger, arbejder og lærer i konkrete situationer.
Konkrete aktiviteter er situationer og begivenheder, der fuldt ud kan gennemskues af børnene – selv om børnene måske ikke lige nødvendigvis skal være færdige med helt at forstå det indeholdte matematiske begreb, når legen eller aktiviteten er slut.
I det omfang et barn ikke på det bevidste plan har leget og arbejdet med konkrete processer og objekter (ting, genstande og elementer til at se, høre, føle på og røre ved), - sådan at der kan blive opbygget konkrete og funktionelle begreber hos barnet – så har det ingen chance for at få fat i det bagvedliggende indhold i et abstrakt begreb.
Grundvilkårene
Det er lige så naturligt for et barn at udvikle en logisk-matematisk kompetence, som at udvikle en sproglig, musisk, rumlig og social m.m.
Når der er problemer med de mangelfulde resultater af matematisk læring må det naturligt føre til en kritisk vurdering af mål, metoder og materialer. Den senere undervisning i skolen i matematik skulle jo nødig forsinke eller direkte forhindre en naturlig udvikling af børns matematiske begreber og symboler.
Det store problem med matematik kunne sagtens være, at faget matematik i særlig grad er eller har været ”fag-matematisk” bestemt. Man har – specielt i begyndermatematik – glemt at tage hensyn til de 6-9 års børns måde at opleve, tænke og handle på.
Børns erfaringsverden har de sidste 20 år ændret sig så radikalt, at deres forudsætninger for at få udbytte af - eller at opretholde bare en tænkelig form for - motivation ved en ”fag-matematisk” undervisning, er blevet yderligere forringet.
Børn vil være aktive deltagere og ønsker at gå på opdagelse i problemerne.
En abstrakt eller ”tilskueragtig” måde at skulle erhverve sig viden på medfører, at børnene ikke kan bruge deres viden til noget i konkrete problemsituationer.
Grundvilkårene for at tilegne sig matematisk viden må derfor være, at børnene leger og lærer sig måder og metoder igennem kreative problemløsningsprocesser – så de kan lege og arbejde aktivt og kritisk med blik for konstruktionsmuligheder i de praktiske problemer, de kommer ind i.
Legetøj og redskaber, der stimulerer talkloghed
Konstruktionslegetøj generelt
Tal og lotterier
Geometriske klodser
Mængde og tal
En dreng er forundret over, hvor mange fugle der kommer flyvende. Det drejer sig om en større mængde fugle, synes han. Pigen tæller fuglene og siger, at der er 10.
Hun omsætter en mængde til et symbol, et tal, som står for det pågældende antal fugle.
I denne forbindelse drejede det sig om mange fugle i luften på en gang, men havde de været på en mark med en mængde køer, ville de måske komme frem til, at der var 19 køer på marken. Det er dog kun en lille mængde, for hos naboen har de en større mængde køer, nemlig 34.
Der kan derfor være tale om flere mængder – en mængde fugle og to mængde køer – og tæller vi de tre mængder sammen – drejer det sig om 10 fugle i den første mængde – og 19 og 34 køer i de to andre mængder.
En mængde kan være mange ting – bunke, stabel, antal, stime, flok, portion og forsamling. Vi benytter os af at fortælle i ord om mængdens større – f.eks. en større mængde – og i tal ved at fastslå hvor mange ting, enheder eller elementer, der er i den pågældende mængde – f.eks. fugleflokken er på 10 fugle, en lille flok fugle.
Tal er betegnelsen for de naturlige, hele og positive grundtal (kardinaltal) som 1, 2, 3, osv. – og talrækken er desuden udvidet med et 0.
For børnene i 5-7 års alderen begynder erkendelsen af mængde- og antalsbegrebet med, at enhver mængde eller ethvert tal kan defineres ved summen af mængdens eller antallets elementer.
Dette er grundlaget for erkendelse af tallenes indhold –
- det samme som deres reference til mængdens størrelse –
- det samme som elementantal
- det samme som grundtal – eller kardinaltal.
At begynde at regne med tal er fuldstændig meningsløs, hvis barnet ikke først har lært tallenes indhold.
- Derfor skal børnene lære at kende forskel på små mængder og kunne overskue mængder på to, tre, fire og kunne tælle sig frem til mængder på op til ti.
- Det næste er at de skal kunne kende forskel på to mængder af forskellig størrelse.
- Til en begyndelse drejer det sig om legen med at inddele ting i grupper, således at grupperne bliver ens. Grupperne kan eksempelvis bestå af klodser i forskellige farver, hvor der skal være lige mange røde og blå klodser i hver farvegruppe.
I naturen er det let at finde mange forskellige mængder – mængder af sten, kogler, æbler, blade osv. Legetøj kan sorteres i mængder – dukker – dyrefigurer – redskaberne biler, huse, våben osv. – forskellige former for byggeklodser – og som nævnt alle naturens produkter, frø frugter, blade osv.
Men vigtigst af alt – barnet må gerne fortælle historier om alle de ting, de leger og regner med. Historierne om tingene er begyndelsen til, at barnet lærer at forklare, hvad der sker, når man leger og regner med mængde, og tal.
Rummelige forhold
To drenge leger med små rum, som er nogle fade og spande m.m. De afprøver, hvor meget vand de rummer. Det er meget konkret, for de kan røre ved spandene og kan derved forholde sig til spandene og fadene som rumlige figurer.
Noget ganske andet er det, når børnene skal begribe rumfigurer abstrakt, billedmæssigt, sprogligt og matematisk.
Børn leger med rumlige figurer – fade, spande, små og større kasser – udefra – og kan sagtens genkende og forstå forskellen mellem flader og rumfigurer, som kan indeholde f.eks. vand.
Men i praksis er det for barnet meget vanskeligt at forestille sig, hvordan en rumfigur ser ud indefra – fra den modsatte side, af hvor barnet normalt og altid ser kassen, nemlig udefra.
Alle rum begynder med en flade, da alle rum har en bund, en grundflade med en bestemt udstrækning. Siderne giver rummet højde. Sider kan stå lige eller skrå. Måske er der låg eller tag på rummet, men mange gange er rummet åbent for oven.
Men udgangspunktet for et rum er altid fladen.
Fladebegrebet er det 2-dimensionale begreb. En flade fylder mere end en streg. Børn i 5-7 års alderen oplever en flade som en ”ikke-streg”. Men hvis barnet tilfældigvis kender det pågældende objekt i forvejen, så vil det blot opfatte ”flade” som en konkret ting: bog, tallerken, bord, plade osv.
I disse tilfælde vil det 2-dimensionale begreb slet ikke være dannet.
Først når barnet for sit indre ser billedsymboler, som viser flader, begynder barnet at forstå det 2-dimensionale begreb –
- at en flade er en enhed, der er afgrænset af linier - men som også kan være afgrænset af kanter.
Det gælder også runde eller ovale flader.
Barnet begynder herefter at opfatte flader som en konstruktion, der er dannet af linier.
Den endimensionale linie - tænker barnet ved sig selv – kan bruges til at lave todimensionale ting. Barnet fatter hermed, at
- en flade er konstrueret af linier.
- linier danner grænser for en omkreds
- som viser afstande
- og indenfor afstandene har vi et areal.
Men stadig mangler barnet en opfattelse af, hvad begrebet rum er for en enhed.
Selve begrebet rum er for barnet meget konkret, men meget svært at begribe abstrakt, billedmæssigt, sprogligt og matematisk
Som tidligere nævnt leger barnet med rumlige figurer - små og større kasser – og kan derfor på billeder – udefra - sagtens genkende og forstå forskellen mellem flader og rumfigurer - men i praksis er det for barnet meget vanskeligt at forestille sig, hvordan en rumfigur ser ud indefra – fra den modsatte side af hvor barnet normalt og altid ser kassen, nemlig udefra.
Barnet kan ikke udregne den rumlige figurs enhed indefra. Det skyldes, at barnet ikke får erfaring med linier og flader indefra.
Udefra - går barnet ud af en linie, går rundt på en linie på gulvet, på græsplænen mv. og mærker væggen og græsplænen som en afgrænsning. Barnet erkender derved fysisk gennem bevægelse en grænse, som markeres af liniens og fladens udstrækning.
Indefra – går barnet ikke rundt i rummet. Indefra ”ser” det rummet, stuen, lokalet, togkupeen, bussen eller bilen. Barnet får overhovedet ikke den samme praktiske erfaring, som kan omdannes til konkret og funktionel erfaring på rum begrebet – som det fik ved at lege med linier og afgrænsninger udefra.
Den bedste øvelse til erkendelse heraf er at lege med opmåling af en kasse – både udefra og indefra – for at erkende, at målene er ens – stort set kun begrænset af væggenes tykkelse, som kan fraregnes.
Matematiske størrelser
Billedet viser nogle børn, som har forskellige kartoner af forskellig størrelse. Børnene har også forskellig alder og størrelse.
Pigen på 10 år kan sagtens forstå, at der er en sammenhæng mellem størrelserne på kartonerne, (at hun bærer en hel karton) - drengen på 6 år forstår det måske ikke helt (at han bærer en karton som er halv så stor som pigens), mens den lille dreng på 4 år bare drikker indholdet, for han forstår slet ikke relationerne mellem kartonernes størrelsesforhold.
En størrelse kan være højde, længde, tykkelse, udstrækning, vidde, omfang, rumfang og volumen, samt lydstyrke, - men også format, tykkelse, kaliber, - foruden grad, og kvalitet.
Størrelse er et udtryk for reelle tal eller værdier, der kan måles ved sådanne, - men bruges også om uendelige eller imaginære tal.
(Størrelsesorden er et tals omtrentlige størrelse, som regel angivet ved nærmeste potens af 10 – eksempelvis er 900 størrelsesorden ti i tredje. (103)
Det er både sjovt og dejligt at lege med forskellige farver, f.eks at ordne farver efter tone eller lyshed, børn efter højde, klodser efter størrelse, tal efter størrelse - som er rækkefølge og ordinaltal (ordenstal – den første, den anden osv.).
Men det kræver en sansemæssig opmærksomhed for forskelle - og at relationsbegrebet er dannet - hvis barnet skal kunne se forholdet og forbindelsen mellem farve, højde, størrelse osv.
Er et barn ikke så langt i sin udvikling (6-7 år), er det nødvendigt stadig at lege alle disse ordningslege, så barnet langsomt får opmærksomheden rette hen imod, at det er forholdet og relationerne mellem farvernes tone, børnenes højde, klodsernes størrelse osv., der er det spændende og interessante.
Barnet skal have dannet et ”relationsbegreb” gennem leg, for at forstå begrebet ”ordning”.
En ting kan skifte størrelse og karakter og stadig have den samme ”konstante” værdi. Det kan dreje sig om antal, flader, rumfang og vægt.
Også dette kan være svært for børn i 6-7 års alderen at forstå. Mange børn på dette alderstrin har stadig ikke opnået et ”konstansbegreb” – og det er den mange børn på det alderstrin, der ikke har.
Eksempelvis har et barn opnået et konstansbegreb, hvis det kan fastholde det ens antal tændstikker i to rækker, selvom tændstikkerne i den ene række lægges tæt sammen og tændstikkerne i den anden række lægges med mellemrum (så de to rækker ”fylder uens”).
Det er for mange børn en uoverskuelig proces, at noget kan gentages i nøjagtig omvendt orden, så det oprindelige udgangspunkt bliver genetableret. At forstå det er at erkende reversibilitet.
At tingene kan fylde uens og alligevel vende tilbage til at være det samme - være reversibelt – skal mange børn være 6-8 år for at forstå.
Til gengæld er der utrolig mange konkrete lege, hvori både relation og reversibilitet kan indgå – og meget legetøj, især byggeklodser kan bruges i disse lege.
Sandsynligheder
På billedet kaster tre børn terninger.
En terning kaldes også en kubus – og terningen har 6 lige store kvadrater og derfor 12 lige store kanter, som er vinkelret på dem, de støder sammen med.
De 6 flader på en terning har øjne - så det kan der leges med. Terningekast er derfor et ældgammelt spil, som mange elsker at spille – fordi det næsten er umuligt at forudsige udfaldet.
Det er vanskeligt både at gætte sig til og beregne sandsynligheden af, hvilket tal en terning vil vise, når den bliver kastet.
Sandsynlighed er det rimelige i den mulighed, man gætter på vil blive det antagelige og acceptable resultat.
Sandsynlighed er også en matematisk disciplin – sandsynlighedsregning – der omhandler mulighederne for, at en proces kan have et rimeligt forløb. Sandsynligheden bliver almindeligvis angivet med et tal mellem 0 og 1
Kaster man f.eks. en terning, er sandsynligheden for at få et bestemt antal øjne 1/6 – ved tilstrækkelig mange kast viser det sig, at hver side vender op meget nær 1/6 af gangene.
Det er pragtfuldt at lege med begrebet sandsynlighed – og det er endnu mere utroligt at opleve begrebet. Det er ligesom at lege med at forudsige et eller andet, som slet ikke er givet på forhånd.
Man kan lege med at forudsige, - hvor mange børn der kommer i børnehave på mandag – hvor mange æbler børnene har med i deres madpakker – hvor mange legoklodser der er i en bestemt kasse – hvor mange gule – blå osv.
Når man leger med sandsynligheder er det vigtigt, at man har nogle konkrete oplysninger på forhånd (f.eks. at der er 60 børn i børnehaven – 100 legoklodser i den hvide kasse osv.).
Disse oplysninger skal anvendes i selv legen, da den går ud på at gætte sandsynligheden.
Man kan også lege med den mulighed, om sandsynligheden gentager sig. I en ugennemsigtig pose lægges 10 røde og 20 blå kugler. Andre 10 røde og 20 blå kugler lægges hver for sig f.eks. på en dug på bordet. Barnet trækker en kugle fra posen, og – inden trækket skal barnet gætte, om det bliver en rød eller en blå kugle, der trækkes.
Efter trækket tager barnet en kugle med tilsvarende farve fra bordet, så der hele tiden er det sammen antal kugler, som er i posen.
Barnet trækker nu igen på tilsvarende måde – og det gentages til der ikke er flere kugler i posen.
Herefter snakker man om, hvorvidt det er muligt at forudsige resultatet og om chancen for at tage den kugle, man har spået, forandrer sig undervejs. – Det er vigtigt at barnet erfarer sig frem til og opdager, at der i begyndelsen er flest chancer for at få blå kugler.
Denne leg gentages herefter hver dag – og måske flere gange om dagen.
De fleste børn vil meget gerne lege gættelege, hvor man efterhånden kan erfare sig frem til det sandsynlige resultat. Børnene har selv mange forslag til, hvilke ting man kan bruge til disse lege.
Ligheder og forskelle
Rigtig mange ting ligner hinanden, uden at være helt de samme. Mange blomster ligner hinanden, men er forskellige. Det samme gælder for insekter, blade, frugter og frø m.m.
Der er så mange muligheder for at finde ting, som ligner hinanden – og alligevel ikke er helt ens.
Når der opstår situationer af den slags, må man lære at ”sammenholde forskellene” og ”adskille lighederne”.
Lighed er ensartethed, overensstemmelse, at noget er analogt til eller er parallelt med noget andet.
Forskel er uens, ulige og divergerende – og derfor afvigende fra det der sammenlignes med selv om vi først troede det drejede sig om det samme.
Når vi således sammenligner forskellige ting, støder vi på det problem, at hverken de mange forskelle eller ligheder er ens, men endda meget forskellige. Barnet i 6-7 års alderen vil prøve på at snakke sig frem til hvorfor der er ligheder og forskelle, ved at benytte begreberne større end og mindre end om alle ting.
Er tingene imidlertid fuldstændig ens, kan man sætte lighedstegn, som angiver at der er fuldstændig overensstemmelse (kongruens) mellem det der står før og efter tegnet.
Lighedstegnet er også et abstrakt symbol.
Ulighedstegnet er også for barnet et abstrakt symbol, der benyttes for at vise relationerne større end/mindre end mellem to størrelser, oftest tal.
Når tegnet er helt lukket i den ene ende, vises begrebet ulighed – (ikke konkret eller funktionelt) - men kun abstrakt.
Barnet i 6-7 års alderen vil derfor umiddelbart opfatte tegnet konkret - og så viser tegnet sammenligningen mellem ”noget der er” (den åbne ende, f.eks. 3) og ”noget der ikke er” (den lukkede ende, altid 0).
Så snart der er en åbning i begge ender af ulighedstegnet, som der er i det bevægelige ulighedstegn, vises begrebet ulighed mellem 2 tilstedeværende objekter, mængder e.l.
Den lille åbning i tegnet betyder noget, der er mindre (f.eks. 2)– og den store åbning i tegnet betyder noget, der er større (f.eks. 3).
Det er meget vigtigt, at børn bliver vist ulighedstegnet ved konkrete handlinger og med anvendelse af et bevægeligt ulighedstegn.
Barnet opfinder selv lighedstegnet ved at sætte ulighedstegnet parallelt. Når det har gjort det nogle gange, er der ingen forståelses- eller hukommelsesproblemer med at vende tegnet rigtigt.
Der skal derfor være konkrete handlinger – og naturligvis altid leg - bag læringen af ulighedstegnet.
Kategoriseringer
På billedet er nogle børn ved at rydde op. De skal ordne og sortere de forskellige træklodser (som er af forskellig type, størrelse og form), således at de kommer i de rigtige kasser. Det er et stort, men også et meget spændende legende arbejde. Der er mange klodser, som ligner hinanden. Heldigvis er der et billede på hver kasse af de klodser, der skal deri, så det hjælper børnene med sorteringen.
De sorterer ved at sammenligne klodsen, de har i hånden, med billedet af klodsen på kassen.
En kategori er en hovedklasse, art eller slags – men kan også være et grundbegreb, grundelement eller grundsynspunkt.
En kategori er også grupper af genstande – og en kategori er egenskaber ved genstande og ting.
Kategorisering og ordning af forskellige objekter i klasser er udgangspunktet for at lære og forstå systematik og orden. Ordning af objekter i klasser gør at barnet kan se og forstå at et objekt, en genstand eller ting ikke samtidig kan være medlem af 2 klasser – og at medlemmerne af en klasse har nogle fælles karakteristika, som definerer klassen.
En klasse kan også beskrives ved en liste over ”medlemmerne” – og at de indlysende og definerede kendetegn og karakteristika afgør, hvilke objekter der indgår i klassen.
Det kræver en sansemæssig opmærksomhed for forskelle - og dannelse af et relationsbegreb – at barnet kan se forholdet og forbindelsen mellem former, størrelser, farver osv.
Er et barn ikke så langt i sin udvikling (6-7 år), er det nødvendigt stadig at lege alle disse kategoriserings- og ordningslege, så barnet langsomt får opmærksomheden rette hen imod, at det er forholdet og relationerne mellem former, farver, klodsernes størrelse osv., der er det spændende og interessante.
I en hvilken som helst indlæringssituation senere i barnets skoleforløb, skal barnet kunne opfatte og afgøre, hvilke kategorier, at alle ting i verden - lige fra tanker, ideer, udsagn eller meninger, ting, genstande og objekter - skal ordnes og sorteres i.
Det er altså vigtigt for indlæring generelt, at relationsbegrebet er på plads.
Først lærer barnet de umiddelbare og logiske systemer – senere de større systemer af tal, ikoner og indholdsordninger – som voksen de fag videnskabelige store systemer, som er udgangspunkt for at kunne udføre komplicerede tekniske operationer og forskning.
Børn begynder meget tidligt at lege med og øve sig i kategorisering og ordning. Det har været væsentlig for menneskehedens overlevelse at kunne kategorisere det farlige fra det ufarlige, det væsentlige fra det uvæsentlige – og det ene objekt, en ting eller en genstand fra det andet.
I gamle dage legede børnene med ting som f.eks. knapper, mønter, frø, frugter, blade, selvgjorte tegnede kort og papirstykker.
I dag finder der eksempelvis både interessante og komplicerede spil, puslespil og computerspil, der gennem leg fremmer børnene læring af relationer, ordninger og kategorier.
Rækkefølge
På billedet ser vi nogle børn, som skal stille op i en rækkefølge på linie efter højde.
Det mindste barn som nummer 1, det næstmindste som nummer 2, osv
Samtidigt skal de også have det rigtige tal i hånden, så tallet passer med barnets placering i rækkefølgen.
Dette kan godt være svært for børn i 4-5 års alderen – men overkommeligt for børn i 6-7 års alderen.
Rækkefølge er når tal, objekter eller andre genstande er på linie, følger efter hinanden i orden – men kan også være en stribe, serie, samling eller et sæt.
I matematik er en række en sum af endelig eller uendelig mange led – benævnes konvergent og divergent.
I biologi er en række en overordnet gruppe, der omfatter flere klasser ordnet efter rang, eksempelvis hvirveldyrene.
Når børnene leger, stiller de mange gange legetøjet op på række og geled. Byggeklodser bliver af børnene ubevidst samlet i grupper eller sæt. Er klodserne ens af udseende, bliver de stillet op på en stribe efter hinanden.
Det er i disse lege med klodser af forskellig slags, at børnene får grundlaget for at kunne tilegne sig og forstå de to altafgørende begreber – kardinaltalsbegrebet (grund- og mængdetal) og ordinaltalsbegrebet (den første, den anden osv.) (se også mængde og tal) – og herved senere igen mængdebegrebet og elementernes plads i en rækkefølge.
Det drejer sig om rækkefølge og mængde, så når børnene bare har lært tallenes navne, deres værdi og plads i systemet, har de allerede tilegnet sig 2 begreber.
Børnene leger og ordner tingene efter rang, så de er på forhånd disponeret til at lære begrebet rækkefølge. De skal lære
- at kunne finde det største og det mindste element i en mængde
- i en mængde at kunne finde elementer, der er lige store
- at rangordne elementerne efter størrelse
Børnene skal derefter - blandt flere mængder med flere elementer i hver - kunne finde den mængde,
- der har flest elementer
- og færrest elementer
- og kunne rangordne mængderne efter antal af elementer
Blandt det store udbud på legetøjsmarkedet af forskellige typer klodser, er det muligt at finde så mange variationer, at mængder og antal i legene kan varieres i det uendelige.
Men mængder og gruppestørrelser er ikke kun klodser – det kan i legen være så meget andet – bøger, børn, sten, billeder af dyr, fugle og insekter m.m.
Det er muligt til enhver tid at snakke med børnene om gruppestørrelser, da der overalt i omgivelserne er grupper af forskellig slags. I den snak er det vigtigt hele tiden at anvende så mange forskellige udtryk som muligt – f.eks. større end/mindre end, lige store, størst/mindst, flest/færrest, lige mange, størst, næststørst osv.
I legen og snakken om grupper af alle slags er det derfor vigtigt, at grupperne er af uens størrelse, så der opstår så mange forskelle som muligt.
Jo mere konkrete grupper er, desto nemmere lære børnene begreberne.
Tid og tidsintervaller
Billedet viser to børn, som leger med tiden. Det sker her ved at de meget langsomt iagttager, hvis snegl der kommer først. Det er ikke en leg for de fartglade. Nu er det børn, som har lært at kende klokken – og de kan tage tiden på et stopur.
Da den langsomme snegl kom i mål, havde den hurtige snegl haft mulighed for at hvile sig i 2 minutter – som også er 120 sekunder.
Tid måles astronomisk ved en regelmæssigt tilbagevendende begivenhed efter solens og dermed stjernehimlens daglige bevægelser.
Registreringen af tid, selve tidsbegrebet, er dobbelt – den digitale tid og den analoge tid.
Et tidsinterval er afstanden mellem to tider, målt i forbindelse med, at noget er i bevægelse.
Oplevelse af fysisk tid varierer meget, afhængigt af fysiologiske og psykologiske forhold. Det er konstateret, at den ændres ved skiftende temperaturer i omgivelserne og ved indtagelse af rusmidler. Psykisk er det velkendt, at det at vente på nogen ”gør tiden længere”, mens det modsatte er tilfældet ved lystbetonet syslen, ”tiden flyver af sted”.
Tidsbegrebet er meget svært for børn at forstå. Der er ingen naturlig sammenhæng mellem et barns aktivitet, opfattelse af den tid, der er gået, og den reelle tid, sådan som den måles med det vedtagne tidssystem.
Tidsbegrebet er dobbelt. Derfor diskussionen om tidsretning og begrebet ”tidens pil” (som Albert Einstein indførte) – om tiden har en retning. I de almindelige fysiske systemer er det lige meget om tiden går fremad eller tilbage – systemerne er reversible – mens det til gengæld i biologiske systemer er oplagt, at der eksisterer en begyndelse og en slutning. Her har tiden en betydningsfuld retning – og man kan tale om et begyndelses- og sluttidspunkt for livet.
Det dobbelte tidsbegreb er - den digitale tid og - den analoge tid.
Den digitale tid er den diskontinuerte tid, der går og forbruges. Den vender ikke tilbage. Den er hugget i stykker og er små enheder, der ikke hænger sammen med noget omkring os. Den refererer kun til den endimensionale linie, ud ad hvilken tiden bare forsvinder eller går.
Den analoge tid er kontinuerlig og hænger sammen med dagens, døgnets og årets rytme. Den ”er” og refererer dermed til rummet, barnet er i. Tiden som sådan går ikke – det er f.eks. dagen, der går. Den analoge tid fortæller hvor langt henne på dagen, man er.
Med indførelsen af digital tid, er børns forståelse af det analoge tidsbegreb blevet besværliggjort og forsinket – for det kræver talkendskab at forstå digital tid og det gør forståelsen af selve tidsbegrebet abstrakt.
Forud for aflæsning af tid på ure - nedskrivning af klokkeslet og regning med tid - må der derfor ske en direkte indlæring af tidsbegrebets karakteristika, som er:
- forskel mellem analog og digital tid
- tid som rytme
- forløb
- interval og bevægelsesbegrebet - om objekters konstans under bevægelse
- tid i forhold til aktivitet og passivitet (tiden står stille eller den flyver af sted)
- forskellen mellem at ”være i tid” og ”forbruge tid/tidsforbrug”.
Da børn indtil 6-7 års alderen tænker helt konkret og derfor altid er bundet fuldstændigt af det der foregår, kan legen med og læringen af tids og tidsintervaller for mange børn godt forekomme svær.
Højdeforskelle
Jo højere man kommer op, jo længere er der ned. Alle børn er bekendt med, at nogle børn er højere end andre. Det er derfor interessant at måle højden på hinanden, stille op i række efter højde, samt kikke på, hvor høje mange voksne mennesker er – på trods af, at de som børn var meget små.
Alle andre ting og genstande har også forskellig højde. Det gælder naturligvis huse, tårne og master. I naturen er det først og fremmest træer og buske, blomster og afgrøderne på marken.
Men der er også højdeforskelle på bakkerne i landskabet – og jo højere man kommer op på bakken, des bedre er udsigten.
Højde er afstanden fra en trekants toppunkt til dens grundlinie – afstanden fra en pyramides eller kegles toppunkt til dens grundflade – afstanden mellem to parallelle flader i et legeme – vinkelen mellem et himmellegeme og horisontens plan.
På et landkort er der en kurve (ækvidistant kurve), som går gennem de punkter i terrænet, der har samme højde.
Det er vanskeligt for et barn at erkende og vurdere højde.
Højden bedømmer barnet konkret fra et punkt, som er stedet hvor det selv står - så rent logisk er det meget høje træ, som står lang væk, tilsyneladende ikke nær så højt som det træ, som er lige ved siden af barnet.
Modsat dette at opfatte rum i erkendelse af 3 dimensioner, bliver erkendelse af en højde på eksempelvis et træ erkendt i forhold til omgivelserne. Herved kommer afstanden nemt til at snyde barnet i dets logiske vurdering af højder.
Højde bliver derfor vurderet konkret og logisk ”nedefra”, fra bunden af bassinet, fra bygningens fundament eller fra træets rod og til overkanten af bassinet eller toppen af bygningen eller træet.
Det hjælper ikke barnet at komme op i højde for at kunne vurdere højden på de omkringstående ting, fordi det er meget svært for mennesker generelt at vurdere dybde – og dybde er højde set ovenfra eller oppefra.
Børn vil meget gerne berette om, at noget har en bestemt højde, men de udregner ikke en højde ud fra et konkret tal eller talbegreb, som de måske heller ikke er i besiddelse af.
Som naturfolk sammenligner børn en højde på et objekt med andre og tilsvarende ting, de kender i omgivelserne.
Det er muligt til enhver tid at snakke med børnene om højde og højdeforskelle, da børnene overalt i omgivelserne ser og bemærker højden på mennesker og objekter.
I denne snak er det vigtigt hele tiden at anvende så mange forskellige udtryk som muligt – f.eks. højere end/lavere end, lige høje, højest/lavest, højest, næsthøjest osv.
Tygde - Vægt
Pigen opfordrer med største fornøjelse den meget større og tungere dreng til at springe ned på vippebrættet. Hun ved af erfaring, at hun derved bliver skudt et lille stykke op i luften – og det er bare pragtfuldt.
Hun ved også, hvor meget hun selv vejer og hvad drengen vejer. Hun er også klar over, at da drengen vejer meget mere end hende, er han også meget tungere.
Vægt er en anden betegnelse for tyngde – vægt er den kraft, hvormed legemer tiltrækker hinanden.
En vægt er et vejeredskab – og der findes mange forskelle typer – skålvægte, fjedervægte, bismer, decimalvægte m.m.
Moderne vægte angiver vægt i digital tal.
Børnene skal lære følgende 4 ting, – at skelne mellem let og tung - at der ikke nødvendigvis er sammenhæng mellem objekters omfang og deres vægt – at lege med vejning på mange forskellige måder – at sætte mål på en vejning.
Børn i 6-7 års alderen har almindeligvis en klar fornemmelse af begreber som let og tung. De har naturligvis leget med en vippe. Vippen er en vægtstang i balance, hvilket betyder, at bjælken med to børn i en lige og vandret position angiver, at børnene må veje lige meget.
At vippe giver derfor børn den første anskuelige fornemmelse for vægt og tyngde.
Børnene skal kunne forklare hvorfor, de kan løfte en let ting, og ikke løfte en tung. Børnene sanser yderpunkterne i begreberne let og tung. Det er dog meget væsentligt i den sammenhæng, at børnene bliver bevidste om de nuancer, der findes mellem yderpunkterne let og tung. Yderligere skal de have en erkendelse af gradueringer, at en ting kan være meget let eller ikke så tung osv.
De vil derved erfare, hvor svært det er at veje ved bare at løfte ting.
Man leger vejning ved at løfte på de ting, vi bruger i hverdagen og har i omgivelserne. Der findes lette og tunge ting overalt, og tingene kan rangordnes. Men rangordning med vægt som udgangspunkt skal børnene være mellem 8-9 år, før de helt forstår.
Noget andet er legen med skålvægten og den gammeldags bage vægt. Skålvægten består af to skåle, ophængt i en afbalanceret vægtstang med to lige arme. På den ene skål anbringes den genstand, der skal vejes. På den anden anbringes lodder af kendt vægt.
I legene med en vægt, vil børnene ofte være mere interesseret i at eksperimentere med balance og ligevægt – end i hvad tings og objekters præcise vægt er i forhold til vægtlodder
Tal-klog videns skema
|
|
Leger og tilegner sig færdigheder og forståelse |
|
Identifikation af tal omkring os |
|
|
Rumlige forhold |
|
|
Problemløsning: Sprog |
|
|
Problemløsning: En-til-en sammenhæng |
|
|
Klassificering ved hjælp af karakteristika |
|
|
Gruppe størrelse |
|
|
At sammenligne grupper |
|
|
Ordforråd |
|
|
At genkende dele af 3-dimensionelle former |
|
|
Taltegnene 1- 4 |
|
|
Ikke-standard måleenheder |
|
|
Tid og klokkeslæt |
|
|
Kalenderen |
|
|
Former omkring os |
|
|
Rumlige forhold - udvidet ordforråd |
|
|
Alment ordforråd vedr. temperatur-måling |
|
|
Størrelses- koncepter |
|
|
Penge: småmønter |
|
|
At lægge til |
|
|
At lægge 1 til |
|
|
Verbalisering af antal enheder i en gruppe |
|
|
Forhold mellem tal |
|
|
Taltegn fem (5) til ni (9) |
|
|
Taltegn nul (0) |
|
|
Måleinstrumenter |
|
|
Taltegn ti (10) |
|
|
Plus (+) symbolet og lighedstegnet (=) |
|
|
At lægge to til |
|
|
At lægge 3 til |
|
|
Tids forhold |
|
|
At trække fra |
|
|
Ordforråd i forbindelse med sammenlignelige størrelser |
|
|
Mønter |
|
|
At aflæse grafiske sekvenser |
|
|
Ordenstal: “første” til “fjerde” |
|
|
At lægge til – udvidelse |
|
|
Tilfældighed/at forudse |
|
|
En hel enhed |
|
|
Delobjekter |
|
|
Sammenligne en halv enhed med en hel enhed |
|
|
Brøkdele: halvdelen (½) |
|
|
At konstruere og tælle ved hjælp af en tallinie |
|
|
Ordenstal: “første” til “tiende” |
|
|
Taltegnene: elleve (11) til femten (15) |
|
|
Penge: “sedler og mønter - kroner og ører ” |
|
|
At lægge fire til |
|
|
At lægge fire til ni til |
|